En 1948 se publicó dentro de la revista de los laboratorios Bell (EEUU) un artículo titulado “A Mathematical Theory of Communication” por el investigador de dicho laboratorio Claude E. Shannon. Dicho artículo, de aproximadamente 50 páginas de extensión, es un complejo análisis matemático donde se establece la velocidad máxima en bits por segundo que se puede alcanzar en cualquier sistema de comunicación real. Claude E. Shannon realizó dicho estudio sobre un sistema de comunicación en general, sin particularizar en ningún medio de transmisión en concreto, por lo que a lo largo de todo el artículo no aparece ninguna mención a componentes o circuitos eléctricos, electrónicos, ópticos o cualquier otro sistema susceptible de emplearse en comunicaciones digitales. Es, como su propio título indica, una teoría matemática de la comunicación.
En la fórmula de Shannon, C es la velocidad máxima en bits por segundo, B es el ancho de banda en Hz y S/N es la relación señal a ruido (signal/noise), sin unidades. Para cualquier sistema de transmisión con un determinado ancho de banda y con una relación dada de señal a ruido, el teorema de Shannon limita la velocidad máxima en bps que se puede obtener, sea cual sea la técnica de transmisión empleada. El límite de velocidad que impone el teorema de Shannon a cualquier sistema real de transmisión hay que entenderlo de la misma manera que existe una temperatura de cero absoluto y por debajo de la cual no se puede bajar o el límite de la velocidad de la luz, por encima de la cual no se puede subir. Y esto es válido para cualquier sistema de transmisión (fibra óptica, radio, cable de pares, cable coaxial, etc). Ni se puede sobrepasar hoy en día ese límite ni tampoco se podrá sobrepasar en el futuro.
Número máximo de bits/seg = BW log2(1 S / N)
En donde:
BW= Ancho de banda del canal
S/N= Relación señal a ruido en el canal Usualmente, se da en decibeles: 10 log10 (S/N)
Ejemplo supongamos que el espectro de frecuencia de un canal se encuentra en el rango 20 a 50 MHz y que la relación señal a ruido es de 20dB, ¿Calcular la capacidad del canal según Shannon.?
¿QUE ES UNA ANTENA?
Las antenas son un componente muy importante en una comunicación inalámbrica. La antena es un dispositivo que emite y recepciona una señal de RF (Radio frecuencia) que viaja por un conductor y lo transforma en una onda electromagnética en el espacio abierto. Las antenas no generan potencia, solo pueden direccionarla. La unidad en que se expresa la ganancia es en dBi. Las antenas deben cumplir con la propiedad de reciprocidad. La misma antena debe tener la propiedad de transmitir como de recibir. Son elementos pasivos a diferencia de los equipos que producen una potencia y se denominan elementos activos.
La forma de graficar la distribución de la onda en el espacio es a través del diagrama de radiación. El diagrama mas representativo y fácil de ver la representación de la onda es el Diagrama Polar.
El código Hamming permite detección y corrección de los datos enviados por un canal susceptible a ruido, esté método se utiliza en canales donde la retransmisión de un mensaje puede congestionar el canal, este método se utiliza comúnmente en redes de Wi –Fi para la transmisión de mensajes.
El dato a transmitir es de (11,7).
7 es la cantidad de datos a transmitir.
4 son los bits de paridad que se añadirán con el código Hamming.
Los valores 4 y 7 sumados dan 11 bits en total que son los que serán transmitidos.
Dato enviado (DTx).
Dato recibido (DRx).
Ejemplo:
Resolver por medio de código Hamming (11, 7) con paridad par, donde el dato a transmitir es 1010101 determinar:
a) Los bits que se transmitirán.
b) La secuencia transmitida fue 11110100100.
Verificar si hubo error en la transmisión, en caso de ser así calcular el síndrome.
a) Los bits que se transmitirán.
Paso 1
Los bit de paridad van colocados en 2^n y en los espacios restantes van los bits a transmitir.
Paso 2
Verificamos si el primer bit de cada columna es 0 o 1
Paso 3
Si es 1 se baja el bit a transmitir de la columna si es 0 no se hace nada
Paso 4
Contamos la cantidad de bits 1 que se bajaron.
Si la cantidad de números 1 es impar se agrega un 1 en la paridad.
Si la cantidad de números 1 es par se agrega un 0 en la paridad.
Repetimos el paso 2 pero con el segundo bit
Repetimos el paso 3 y 4.
El paso 2, 3 y 4 se repiten hasta completar la tabla.
Paso5
Por ultimo se bajan todos lo bits de los datos a transmitir y la paridad.
b) La secuencia transmitida fue 11110100100.
Se toman los valores que coincidan con la posición de los bits datos a transmitir y se los coloca en la tabla.
Por ultimo se realizan todos los pasos vistos anteriormente.
Se compara el DTx con el DRx y si son diferentes significa que hay un error.
DTx: 11110100101
DRx: 11011111001
Al ser diferentes se debe calcular el síndrome.
El síndrome se calcula tomando los bits de paridad de las 2 tablas y comparándolos, si son iguales se coloca un 0 si son diferentes se coloca un 1.
Tomamos los valores de abajo hacia arriba y ese valor en binario es el bit en el cual hubo el error.
Síndrome = 1011
Al código CRC (Verificación de Redundancia Cíclica) se lo usa para la detección de errores esta es una práctica importante para la integridad de los datos enviados a través de los diferentes medios y dispositivos.
Los bloques de datos ingresados en estos sistemas contienen un valor de verificación adjunto, basado en el residuo de una división de polinomios
Redundancia
Es la parte del mensaje que sería innecesaria en ausencia de errores.
El código CRC o de comprobación de redundancia cíclica tiene como finalidad agregar bits redundantes al final de la transmisión.
Los n bits que se transmitirán se toman como los coeficientes de un polinomio de grado n-1.
Calculo del CRC
Ejemplo
Data(x) = x^9+x^7+x^3+x^2+1 = 1010001101
P(x) = x^5+x^4+x^2+1 = 110101
Para resolver este ejercicio se debe dividir la Data para la P y se deben añadir ceros a la data según el grado del polinomio.
Para realizar esta división en lugar de usar la resta binaria común se debe operar con el xor
El resto de la división se aplica igual que en la división binaria normal.
Al realizar la división se obtiene el FCS que seria el modulo de la division.
FCS: 01110
El dato enviado seria la Data junto con el FCS
Dato enviado: 101000110101110
Diseñar sel circuito CRC es sirve para generar la tabla del proceso que llevan los bits hasta llegar a su resultado final que seria el FCS.
Si el FCS encontrado en la tabla es igual al encontrado con la división significa que los ejercicios han sido resueltos correctamente.
Ejemplo
Continuando con el ejercicio anterior
Para diseñar el circuito primero se debe agregar al polinomio P(x) las x con las potencias que no están incluidas y multiplicarlas por cero.
1x^5+1x^4+0x^3+1x^2+0x^1+1
En todos los que estén multiplicados por cero se pasa el dato directamente y los que estén multiplicados por 1 se agrega el operador exclusivo.
Una vez diseñado el circuito se debe llenar los datos.
En la entrada se coloca la Data incluyendo los 5 ceros por grado de P(x), y los bits iniciales de c4, c3, c2, c1, c0 serán ceros tal como se muestra en la imagen
Luego empezamos a realizar las operaciones XOR para llenar los bits de la derecha de la tabla
Luego movemos los bits de la tabla en la forma que se ve en el circuito diseñado anteriormente.
c4 = (c4+c3)
c2 = (c4+c1)
c0 = (c4+in)
c3 = c2
c1 = c0
Se debe repetir este proceso hasta completar la tabla
El FCS obtenido es 01110
Como se puede observar el FCS obtenido es el mismo de la división realizada en el Tema 8 lo que significa que el ejercicio a sido resuelto correctamente.
El teorema de Nyquist o Teorema del muestreo requiere usar para su demostración rigurosa un nivel de matemáticas relativamente avanzado, pero es posible también realizar una demostración comprensible mediante un ejemplo y con la sola ayuda de fórmulas trigonométricas básicas. Para ello partimos de un tren de impulsos ideal, el cual tiene una forma como la mostrada en la siguiente figura:
En realidad el dibujo mostrado corresponde a un tren de impulsos “real”, ya que en el ideal la anchura de los impulsos debe de ser nula, pero para comprender la demostración servirá igualmente. Al igual que sucede con otras formas de onda periódicas, el tren de impulsos también se puede expresar mediante una serie de Fourier formada por infinitos armónicos de frecuencias crecientes y amplitudes decrecientes. La serie de Fourier correspondiente a un tren de impulsos unitarios, de frecuencia ωs y duración entre impulsos de T segundos, tiene como expresión:
Como demostración práctica de la fórmula anterior, representamos la suma de los primeros términos de dicha serie y obtenemos el resultado que aparece en la siguiente figura :
Si aumentamos el número de armónicos la señal obtenida se parecerá más al tren de impulsos original. Pues bien, una vez que disponemos de un tren de impulsos como suma de una serie infinita de señales senoidales, debemos de tener en cuenta que el proceso de muestreo de cualquier señal analógica puede ser estudiado como la multiplicación de un tren de impulsos por la señal analógica a muestrear, tal y como se observa en la siguiente figura :
Para la realización del presente análisis vamos a suponer un caso sencillo, consistente en muestrear una señal senoidal de frecuencia ωx. El tren de impulsos de muestreo será el visto anteriormente. Puesto que el muestreo es, en definitiva, la multiplicación de los impulsos del tren de muestreo por el valor de la señal analógica en cada instante de muestreo, tenemos entonces que la señal a muestrear tiene por expresión:
Y el tren de impulsos de muestreo tiene por expresión:
Por lo que la señal muestreada tiene como expresión:
Si ahora tenemos en cuenta que cos A cos B = 1/2 [cos(A+B) + cos (A-B)] y desarrollamos el sumatorio para los diferentes valores de K tenemos que:
Y se cumple que en general, para K=n
Es decir, se observa que aparecen términos múltiplos de la frecuencia del tren de impulsos de muestreo en forma de términos coseno -armónicos- de frecuencias ωs, 2ωs, 3ωs……….nωs. Alrededor de éstas frecuencias aparece la suma y la resta de la frecuencia correspondiente a la señal senoidal muestreada, de frecuencia ωx. Esos términos que aparecen alrededor de las frecuencias correspondientes a los términos del tren de impulsos son las bandas laterales, igual que sucede en el proceso de una modulación de amplitud (AM). Ahora como el tren de impulsos no es equivalente a una señal senoidal única –portadora en la modulación AM- sino a la suma de infinitos términos cosenoidales, aparecen infinitas bandas laterales, dos a cada lado de cada frecuencia correspondiente a los términos de la serie de impulsos. Gráficamente se observa el resultado en la siguiente figura:
Los segmentos largos corresponden a los términos ωs y los segmentos cortos corresponden a los términos ωx o bandas laterales. Si la señal a muestrear no es una senoidal pura sino una señal cualquiera que tiene un espectro de frecuencias comprendido entre una frecuencia mínima ωzmin y una frecuencia máxima ωzmax , entonces, gráficamente, dicha señal se puede representar de la siguiente manera:
Si muestreamos la señal anterior mediante un tren de impulsos de frecuencia ωs, entonces tal y como se ha justificado de forma matemática anteriormente, obtendremos lo siguiente:
Ahora se puede recuperar de nuevo la señal original a partir de la señal muestreada si del espectro de frecuencias de la señal muestreada eliminamos todos los términos menos el correspondiente a la señal original, utilizando para ello un filtro ideal.
Gráficamente hay que filtrar la señal muestreada para coger solamente la parte del espectro de frecuencias correspondiente a la señal original tal y como se muestra en la siguiente figura:
Para que el proceso de recuperación de la señal original sea posible es necesario que cuando se ha realizado el proceso de muestreo, la frecuencia de muestreo o frecuencia del tren de impulsos haya sido de al menos el doble que la mayor frecuencia presente en la señal a muestrear, es decir ωs ≥ ωzmax. Si esto no se cumple, entonces las bandas laterales se solaparán entre sí y la recuperación de la señal original será imposible.
Esto es lo que se conoce como el TEOREMA DEL MUESTREO, el cual establece que para realizar un muestreo que posteriormente permita reconstruir la señal original sin error, la frecuencia de muestreo ωs utilizada debe de ser, por lo menos, igual o mayor que dos veces la máxima frecuencia contenida en la señal a muestrear. Se debe de tener en cuenta no obstante que el procedimiento de recuperación de la señal original a partir de la señal muestreada requiere utilizar filtros ideales, imposibles de realizar. Por ello, en la práctica, no es posible recuperar la información de la señal analógica original de forma exacta mediante ese sistema. Matemáticamente existe una fórmula que permite calcular el valor exacto de la señal original en cualquier instante de tiempo. Esta fórmula da el valor exacto en los instantes de muestreo y calcula el valor también exacto entre instantes de muestreo por interpolación:
Ahora bien, si se examina la fórmula con atención se observa que para calcular el valor de la señal original en un instante t es necesario realizar un sumatorio infinito con los infinitos valores en los instantes de muestreo antes de t y con los infinitos valores en los instantes de muestreo detrás de t. Es decir, es un proceso irrealizable, lo cual está de acuerdo con la imposibilidad física de disponer de filtros ideales para conseguir la recuperación de la señal original de forma exacta. En la práctica la reconstrucción de la señal original a partir de la señal muestreada se realiza mediante los denominados convertidores D/A, que físicamente son retenedores de orden cero.
Si las muestras se han tomado a una frecuencia suficiente, la señal recuperada nunca será exactamente igual que la original pero si muy parecida.
